2025-2026
Cours de Prémaster ENS Lyon: Introduction aux groupes localement compacts.
Chapitre I: Groupes topologiques.
Chapitre II: Généralités sur les groupes localement compacts.
Chapitre III: Corps topologiques - Le corps Qp et ses extensions finies.
Chapitre IV: Mesure de Haar.
- 18/03: Rappels du cours de topologie. Chapitre I: Groupes topologiques. Exemples. Sous-groupes fermés, sous-groupes ouverts, séparation. Espaces quotients, groupes quotients. Composantes connexes.
- 25/03: Métrisabilité: théorème de Birkhoff-Kakutani. Chapitre II: Groupes localement compacts: sous-groupes fermés, quotient par un sous-groupe normal fermé. Sous-groupes ouverts dans les groupes localement compacts totalement discontinus: théorème de van Dantzig. Conséquences.
- 08/04: Caractérisation des groupes profinis comme étant les groupes compacts totalement discontinus. Métrisabilité dans les groupes localement compacts: théorème de Kakutani-Kodaira. Chapitre III: entiers p-adiques, unités, valuation p-adique.
- 22/04: Propriétés topologiques de Zp, densité de Z dans Zp. Corps des nombres p-adiques: valeur absolue p-adique, densité de Q dans Qp. Valeurs absolues sur un corps abstrait, corps topologiques, corps résiduel d'un corps ultra-métrique, finitude du corps résiduel dans le cas localement compact.
- 29/04: Espaces vectoriels normés sur Qp, équivalence des normes en dimension finie. Si K est une extension finie de Qp, existence et unicité de l'extension de la valeur absolue de Qp en une valeur absolue de K. La valeur absolue d'un élément de K ne dépend pas de l'extension dans laquelle il est vu; et se lit sur le polynôme minimal. Le corps résiduel est une extension finie de Z/pZ, de degré f. L'image de la valuation contient p^Z comme sous-groupe d'indice fini, noté e. Egalité n = ef, où n est le degré de K sur Qp (sans preuve). Théorème de classification des corps locaux (sans preuve).
- 06/05: Chapitre IV. Rappel : lien entre mesures de Radon sur un espace localement compact X et formes linéaires positives sur Cc(X). Mesure de Haar sur un groupe localement compact, théorème d'existence et unicité. Propriétés générales de la mesure de Haar, fonction modulaire. Exemples: le groupe unipotent sur R, le groupe affine sur Qp. Application de l'existence de la mesure de Haar: tout sous-groupe compact de GLn(R) est conjugué à un sous-groupe de On(R).
- 13/05: Examen.
Références:
[1] "Topologie Générale. Chapitre III: Groupes topologiques", N. Bourbaki, Hermann, Paris, 1971.
[2] "Locally compact groups", L. Kramer, notes en ligne, 2017.
[3] "A course in p-adic analysis", A. Robert, Graduate texts in Mathematics.