2024-2025
Cours de Prémaster ENS Lyon: Introduction aux groupes localement compacts.
Chapitre I: Groupes topologiques.
Chapitre II: Généralités sur les groupes localement compacts.
Chapitre III: Le corps Qp et ses extensions finies.
Chapitre IV: Mesure de Haar.
- 12/03: Chapitre I: Groupes topologiques. Exemples. Sous-groupes fermés, sous-groupes ouverts, séparation. Espaces quotients, groupes quotients. Composantes connexes. Métrisabilité: théorème de Birkhoff-Kakutani.
- 13/03: Chapitre II: Groupes localement compacts: sous-groupes fermés, quotient par un sous-groupe normal fermé. Théorème de van Dantzig pour les groupes totalement discontinus. Les groupes profinis sont exactement les groupes compacts et totalement discontinus.
- 09/04: Fin du chapitre II: théorème de Birkhoff-Kakutani. Chapitre III: entiers p-adiques, unités, valuation p-adique, propriétés topologiques de Zp.
- 16/04: Continuité des opérations sur Zp, densité de Z dans Zp. Corps des nombres p-adiques: valeur absolue p-adique, continuité des opérations, densité de Q dans Qp. Valeurs absolues sur un corps abstrait, corps résiduel d'un corps ultra-métrique. Espaces vectoriels normés sur Qp, équivalence des normes en dimension finie. Si K est une extension finie de Qp, unicité de l'extension de la valeur absolue de Qp en une valeur absolue de K.
- 23/04: Si K est une extension finie de Qp, existence de l'extension de la valeur absolue de Qp en une valeur absolue de K. La valeur absolue d'un élément de K ne dépend pas de l'extension dans laquelle il est vu; et se lit sur le polynôme minimal. Le corps résiduel est une extension finie de Z/pZ, de degré f. L'image de la valuation contient p^Z comme sous-groupe d'indice fini, noté e. Egalité n = ef, où n est le degré de K sur Qp. Une extension finie totalement ramifiée de Qp est engendré par la racine d'un polynôme d'Eisenstein. Théorème de description des corps locaux (sans preuve).
- 07/05: Chapitre IV:
Références:
[1] "Topologie Générale. Chapitre III: Groupes topologiques", N. Bourbaki, Hermann, Paris, 1971.
[2] "Locally compact groups", L. Kramer, notes en ligne, 2017.
[3] "A course in p-adic analysis", A. Robert, Graduate texts in Mathematics.
Pour aller plus loin sur les groupes profinis: [4] "Profinite groups", J. Wilson, London Mathematical Society Monographs, 1998.