2023-2024
Cours de Prémaster ENS Lyon: Introduction aux groupes localement compacts.
Chapitre 1: Groupes topologiques.
Chapitre 2: Généralités sur les groupes localement compacts.
Chapitre 3: Nombres p-adiques, corps locaux.
Chapitre 4: Mesure de Haar.
- 11/03: Groupes topologiques. Exemples. Sous-groupes fermés, sous-groupes ouverts, séparation. Espaces quotients, groupes quotients. Composantes connexes. Métrisabilité: théorème de Birkhoff-Kakutani.
- 18/03: Preuve du théorème de Birkhoff-Kakutani. Généralités sur les groupes localement compacts. Théorème de van Dantzig, conséquences.
- 25/03: Groupes profinis, caractérisation topologique. Interlude sur les groupes résiduellement finis. Métrisabilité des groupes localement compacts: théorème de Kakutani-Kodaira.
- 04/04: Entiers p-adiques, unités p-adiques, valuation, densité de Z dans Zp. Continuité des opérations. Sous-groupes fermés de Zp. Corps muni d'une valeur absolue, corps topologiques. Nombres p-adiques, valeur absolue, densité de Q dans Qp. Groupes GLn(Qp), GLn(Zp).
- 08/04: Classification des corps localement compacts (sans preuve). Mesure de Haar sur un groupe localement compact. Exemples. Fonction modulaire. Exemples.
- 15/04: Théorème d'existence et unicité de la mesure de Haar.
Références:
[1] "Topologie Générale. Chapitre III: Groupes topologiques", N. Bourbaki, Hermann, Paris, 1971.
[2] "Locally compact groups", L. Kramer, notes en ligne, 2017.
[3] "A course in p-adic analysis", A. Robert, Graduate texts in Mathematics.
[4] "Hilbert's fifth problem and related topics", T. Tao, Graduate Studies in Mathematics, 2014.
Pour aller plus loin sur les groupes profinis: [5] "Profinite groups", J. Wilson, London Mathematical Society Monographs, 1998.