2023-2024
Cours de Master 2 ENS Lyon (24h): Théorie géométrique des groupes.
- 25/09: Métriques des mots, graphes de Cayley. Plongements quasi-isométriques, quasi-isométries, espaces quasi-isométriques. Relation d'être "presque-isomorphe" sur les groupes. Deux groupes presque-isomorphes sont quasi-isométriques.
- 02/10: Actions isométriques, actions géométriques, lemme de Milnor-Schwarz, conséquences. Réinterprétation du lemme de Milnor-Schwarz en termes de groupes localement compacts.
- 09/10: Arbres, bouts d'un arbres. Types d'automorphismes d'un arbre (elliptique/inversion/hyperbolique); types d'actions de groupes sur un arbre; existence et unicité d'un sous-arbre minimal invariant en présence d'hyperboliques. Si G agit sur T avec des éléments hyperboliques transverses, alors G contient un sous-groupe libre de rang deux.
- 16/10 +23/10: Produits amalgamés, extensions HNN, arbres associés. Bouts d'un groupe finiment engendré, groupes à deux bouts, théorème de Stallings.
- 30/10: Vacances.
- 06/11: Croissance des groupes. La fonction de croissance est un invariant de quasi-isométrie. Les groupes nilpotents sont à croissance polynomiale. Formule donnant le degré.
- 13/11: Lemme de Milnor. Croissance des groupes résolubles (Milnor-Wolf). Alternative de Tits. Théorème de Gromov. Identification de l'étape clé: montrer qu'un groupe à croissance polynomiale se surjecte virtuellement sur Z.
- 20/11: Pause.
- 27/11: Moyennabilité (existence d'ensembles de Følner). Exemples de groupes moyennables et non moyennables. Représentations unitaires et actions affines sur un espace de Hilbert. Cocycles, cobords, presque cobords d'une représentation unitaire. Exemples.
- 4/12: Propriétés H_t et H_fd. Caractérisation en termes de représentations irréductibles. Les groupes nilpotents ont H_t. Un groupe moyennable finiment engendré infini avec H_fd se surjecte virtuellement sur Z. Couplage topologique. Invariance par quasi-isométrie de H_fd pour les groupes moyennables.
- 18/12: Examen (9h-12h).
Références:
"Geometric group theory", Druţu, Cornelia; Kapovich, Michael, American Mathematical Society, 2018.
"How groups grow", Mann, Avinoam, London Mathematical Society Lecture Note Series, 2012.
"Arbres, amalgames, SL2", Serre, Jean-Pierre; Astérisque No. 46. Société Mathématique de France, 1977.
"Harmonic analysis, cohomology, and the large-scale geometry of amenable groups", Yehuda Shalom, Acta. Math., 2004.
"Sur le groupe des automorphismes d'un arbre", Jacques Tits, Essays on Topology and Related Topics, Springer, 1970.