2022-2023
Groupe de lecture L3 (24h): Introduction aux groupes profinis et à la rigidité profinie.
- 11/01: séance introductive.
- 18/01: [1]: Lemme 0.1.1, Lemme 0.1.2. Rappels topologie quotient et topologie produit, théorème de Tychonoff (0.2 + théorème 0.2.1). Groupes topologiques (Lemme 0.3.1).
- 01/02: [1]: Lemme 0.3.2 (Théorème de van Dantzig), Proposition 0.3.3. Début de la section 1 (systèmes inverses, limite inverse).
- 08/02: [1]: propriétés générales sur les limites inverses d'espaces compacts. Tout espace compact totalement discontinu est limite inverse de ses quotients discrets.
- 22/02: [2]: p-groupes finis, groupes nilpotents.
- 01/03: [2] caractérisation des groupes nilpotents finis en termes de sous-groupes de Sylow. Sous-groupes maximaux, sous-groupe de Frattini.
- 08/03: caractérisation des groupes profinis, des groupes pro-p, et plus généralement des groupes pro-C où C est une classe de groupes finis: Section 1.2 de [1]. Complétions de groupes.
- 15/03: Complétions de groupes, suite. Exemple du complété profini du groupe Z. Nombres supernaturels, indice d'un sous-groupe d'un groupe profini.
- 22/03: Théorèmes de Lagrange et de Sylow pour les groupes profinis (2.1 et 2.2 de [1])
- 29/03: Groupes pro-nilpotents; sous-groupe de Frattini [1] ---- Introduction au problème de rigidité profinie [3].
- 05/04: Groupe libre. Quelques propriétés des groupes ayant les mêmes quotients finis qu'un groupe libre [3].
- 19/04: Exemples de groupes non isomorphes ayant les mêmes quotients finis [4]
Références:
[1] "Profinite groups", John Wilson, London Mathematical Society Monographs, 1998.
[2] "An Introduction to the theory of groups", Joseph Rotman, Graduate Texts in Math., 1995.
[3] "Profinite rigidity", Alan Reid, Proceedings ICM 2018 Rio de Janeiro.
[4] "Residually finite groups with the same finite images", Gilbert Baumslag, Compositio Mathematica, tome 29, no 3 (1974).