2021-2022
Cours de Master 2 avec Mikael de la Salle: Réseaux dans les groupes de Lie semi-simples.
- 13/01 (ALB): mesures de Haar sur un groupe localement compact, fonction modulaire. Exemple du groupe affine sur R. Existence d'une mesure invariante sur G/Gamma si et seulement si la fonction modulaire de G est triviale sur Gamma. Réseaux, caractérisation en terme de domaine fondamental. Si G admet un réseau alors G est unimodulaire. Un sous-groupe discret cocompact est un réseau. Un réseau Gamma est non cocompact ssi 1 est limite de conjugués non triviaux d'éléments de Gamma.
- 20/01 (ALB): ensembles de Siegel, SL(d,Z) est un réseau dans SL(d,R). Espace des réseaux dans R^d, critère de Mahler. Construction de réseaux cocompacts dans SO(q), où q est une forme quadratique à coefficients entiers qui ne représente pas 0 sur Q.
- 27/01 (MdlS): caractérisations des unipotents et théorème de Jacobson-Morozov dans SL(d,R). Théorème de Borel: si Gamma est un réseau dans G = SL(d,R), alors étant donné une représentation linéaire de G, tout sous-espace Gamma-invariant est G-invariant. Applications. Théorème de Howe-Moore pour SL(d,R).
- 03/02 (MdlS): algèbres de Lie semi-simples, caractérisations. Toute dérivation d'une algèbre de Lie semi-simple est de la forme ad(X). Un groupe de Lie semi-simple est "presque" un produit de groupes de Lie simples. Involutions de Cartan: existence et unicité. Décomposition de Cartan.
- 17/02 (ALB): Décomposition KAK d'un groupe de Lie semi-simple. Théorèmes de Howe-Moore, théorème de Borel. Propriété (T), premières conséquences. La propriété (T) passe aux réseaux. Le groupe SL(2,R) n'a pas la propriété (T).
- 03/03 (ALB): SL(d,R) a la propriété (T) pour tout d > 2. Graphes expanseurs: définition, interprétation spectrale. Construction de graphes expanseurs comme graphes de Schreier de groupes ayant la propriété (T).
- 10/03 (MdlS): Théorèmes du sous-groupe distingué pour un réseau irréductible dans un groupe de Lie semi-simple de rang supérieur. Théorème d'arithméticité des réseaux. Théorème du facteur de Margulis: preuve dans le cas G = SL(d,R).
- 17/03 (MdlS): Le théorème du facteur implique le théorème du sous-groupe distingué (preuve dans le cas où G est simple). Super-rigidité implique arithméticité des réseaux.
Références:
[1] "Lie groups beyond an introduction", Knapp, Birkhauser Progress in Mathematics, 2002.
[2] "Kazhdan's property (T)", Bekka, de la Harpe, Valette, Cambridge University Press, 2008.
[3] "Discrete subgroups of Lie groups", Raghunathan, Springer-Verlag, 1972.
[4] "Introduction to arithmetic groups", Witte Morris, Deductive Press, 2015.
[5] "Ergodic theory and topological dynamics of group actions on homogeneous spaces", Bekka--Mayer, London Mathematical Society Lecture Note Series, 2000.